Покерные руки - 5-карточный розыгрыш | Блог по прикладной математике Рипа

Введение В покер с дро-покером используется стандартная колода из 52 карт: 13 разрядов (от туза до 10, валет, дама, король) в 4 мастях. (Туз обычно считается старше короля, если только он не используется как 1 в серии.) Каждому игроку сдается по 5 карт. Прежде чем я когда-либо играл в покер ...

В дро-покер используется стандартная колода из 52 карт: 13 разрядов (от туза до 10, валет, дама, король) в 4 мастях. (Туз обычно считается старше короля, если только он не используется как «1» в серии.) Каждому игроку сдается по 5 карт.

Прежде чем я когда-либо играл в покер - дома - от меня требовалось выучить мантру: одна пара, две пары, тройка… стрит, флеш, фулл-хаус… каре, стрит-флеш. Это возможные выигрышные комбинации от наименьшего к лучшему. (На самом деле, я буду отличать рояль стрит-флеш от других стрит-флеш.)

Какова вероятность получить раздачу каждому из них?

Это первый вопрос, на который я отвечу в нескольких частях.

После раздачи карт и ставок каждый игрок может сбросить некоторые из них и получить замену. Во втором посте я спрошу и отвечу: каковы шансы на улучшение любой данной руки?

Есть отличная вики-статья. На самом деле, хороший способ вычисления вероятностей исходит из этого (особенно для одной пары и зря).

количество рук

Сколько в покере рук с 5 картами? Если порядок имел значение, первая карта могла быть любой из 52, вторая карта могла быть любой из оставшихся 51 и так далее, а пятая карта могла быть любой из оставшихся 48. Мы могли бы написать это, конечно, как

52 х 51 х 50 х 49 х 48 = 311 875 200.

Или мы могли бы написать его немного компактнее, как

52! / 47! = 311 875 200

где п! (n факториал) означает n умножить на n-1 умножить на n-2… умножить на 2, умножить на 1. Назовите это количество возможных сделок.

Но это если порядок имеет значение. В покерной руке это не имеет значения. Что ж, тогда, учитывая один конкретный набор из пяти карт, сколькими способами он мог быть сдан?

Любая из пяти карт могла быть сдана первой, любая из оставшихся четырех могла быть сдана второй и т. Д.

Чтобы вычислить количество возможных покерных рук, мы берем количество возможных сделок и делим их на 5!

руки= 52! / 47! / 5! = 2 598 960.

Более формальный способ записи - позволить этому символу:

подставка под цифру 52! / 47! / 5 !, где 47 получается как 52-5.

Более того, это часто произносится как решаемая проблема. Мы читаем это как «52 выбирают 5» или «выбирают 5 из 52». Именно так мы и поступили: выбрали подмножество из 5 карт из набора из 52 карт (без замены).

флеши и стрит флеши

Флеш - это 5 карт одной масти. Стрит-флеш - это одновременно флеш и стрит, то есть флеш с пятью последовательными картами: например, от 1,2,3,4,5 до 10, J, Q, K, A (= 1); эквивалентно, это стрит в одной масти. Стрит-флеш от 10 до туза называется рояль-стрит-флеш.

Сколько есть универсальных рук? Столько упорядоченных рук одной масти ... так много неупорядоченных ... так что количество флешей в 4 раза больше:

(То есть allflush= 5148.)

Есть более ясный способ сформулировать этот расчет: выберите 1 костюм из 4; и выберите 5 карт из 13 этой масти.

Да, «4 выберите 1» = 4, поэтому я набираю дополнительные символы, набирая

вместо «4». Но мне нравится подчеркивать концептуальную общность.

Из всех этих флешей ровно 4 - это рояль-стрит-флеш.

королевский= 4.

Сколько флешей - это стрит-флеши? Стрит может начинаться с туза по 10, так что есть ровно 40 стрит-флешей, включая рояль… отсюда 36 стрит-флеш, исключая рояль.

str8flush= 40 - королевский = 36.

Тогда количество флешей, которые не являются стритами, составляет:

flush= allflush - королевский - str8flush = 5108.

прямые

У любого стрита есть 40 вариантов для самой младшей карты и по 4 для каждой из оставшихся, так что есть

allstr8= 40 * 4 ^ 4 = 10240.

Сколько из них - стрит-флеш или рояль-стрит-флеш? Мы знаем, что: 40 (которые я сохранил как 4 и 36). Таким образом, количество стритов, которые не являются стрит-флешами, составляет:

str8= allstr8 - королевский - str8flush = 10200.

Теперь давайте перефразируем это красиво. Чтобы получить общее количество стритов, выберите 1 из 10 для самого низкого ранга в стрите, а затем выберите 1 из 4 мастей для каждой из 5 карт.

каре

Сколько единственных рук? 13 вариантов для вида, 48 вариантов для 5-й карты: четверки= 13 * 48 = 624.



Изложите красиво, выберите 1 из 13 для вида, затем выберите 1 из 48 для пятой карты.

Аншлаг

Фулл-хаус - это три одинаковых и два другого вида.

Сколько аншлагов? 13 вариантов для тройки, 12 для пары, но есть дополнительная карта для тройки и две дополнительные карты для дубля.

полный= (4 * 13) (6 * 12) = 3744.

Гораздо лучше сделать это красиво: выберите 1 из 13 для значения тройки, затем выберите 3 масти из 4, чтобы заполнить тройку ... затем выберите 1 из 12 для значения пары и выберите 2 из из 4 мастей, чтобы получить определенную пару:

три в своем роде

Сколько именно 3-х экземпляров? 13 вариантов для вида, но 4 способа получить каждый ... 4 * 12 вариантов для 2-го ранга и 4 * 11 для 3-го ранга ... но порядок не имеет значения, поэтому разделите на 2.

тройки= (4 * 13) (4 * 12) (4 * 11) / 2 = 54912

Действительно? Мы знаем, как это разбить. Выберите 1 из 13 для ранга тройки, затем 3 из 4 мастей; выберите 2 ранга из 12 для двух других рангов, и для каждого выберите 1 из 4 мастей:

две пары

Первая пара - одна из 13, с 6 отдельными парами, а вторая пара - одна из 12, с 6 отдельными парами ... но порядок не имеет значения (первая пара, вторая пара) ... и пятая карта может быть любой из оставшихся 44 .

(То есть две пары= 123552.)

Верю ли я этому рассуждению? Иногда!

Так что позвольте мне сделать это чисто. Выберите два ранга из 13 для рангов двух пар ... для каждой пары выберите 2 из 4 мастей ... затем выберите одну из 44 карт, кроме этих 8, чтобы заполнить руку:

Цифры те же, но я доверяю второму расчету. Первый слишком спонтанный.

одна пара

Признаюсь, я должен сделать это чисто. По-другому я ошибаюсь.

Выберите 1 из 13 для ранга, затем выберите 2 масти из 4; выберите 3 ранга из оставшихся 12 и для каждого из них выберите 1 из 4 мастей:

пара=

ничего такого

На мой взгляд, это здорово. Это взято из вики-ссылки в начале сообщения. Выберите 5 рангов из 13… но исключите 10 стритов любой масти; для каждого из выбранных 5 рангов выберите 1 из 4 мастей… но исключите 4 флеша.

нет=

резюме

Вот что мы вычислили:

Приятно видеть, что руки становятся все реже по мере роста их вэлью.

Теперь, когда мы собрали количество рук ... сколько в покере ценных рук? Вот отдельные числа, поэтому сложите их:

О, пока у нас есть этот список, давайте разделим каждую запись на общее количество рук; это вероятность получить каждую из этих покерных рук:

Например, шанс получить ровно одну пару составляет 42%; почти 5% шанс получить две пары; 2% шанс получить тройку одного достоинства.

Сколько рук не имеют ценности? Мы вычислили

а какая сумма в покере?

нет + покер = 2 598 960.

И сколько возможных рук мы вычислили, что было?

Хороший. Путем независимого вычисления бесполезных рук мы получили проверку нашего вычисления покерных рук.

Наконец, соотношение нет / руки:

нет / руки = 0,501177

… Так что шансы получить 5 бесполезных карт чуть больше 50%, но не намного. Вы можете смело запомнить его как 50-50, поскольку на руках у вас есть как минимум пара.

В другом посте я рассмотрю шансы на улучшение раздачи, которую вам раздали.