Философско-научные приключения | Брайан В. Робертс

Разминка головоломки Два человека подбрасывают по 50 раз монеты каждый. Один из них (честный) честно записывает результат каждого подбрасывания монеты по порядку. Другой (лжец) просто составляет последовательность

Два человека подбрасывают монету по 50 раз. Один из них (честный) честно записывает результат каждого подбрасывания монеты по порядку. Другой (лжец) просто составляет последовательность из 50 результатов и записывает их, надеясь обмануть нас, заставив думать, что монета на самом деле подброшена. Их результаты показаны ниже.

Вопрос:Какая последовательность принадлежит честному, а какая - лжецу?

Последовательность АhTThTThhhT TThhTTThTT hTTTThhhhh ThTThThTTT hThhTTThhh
Последовательность BhTThhhTThT ThThhThTTT hhThhllThT ThhThTTThh ThhTTThThT

Прежде чем прокручивать дальше, сделайте предположение и подумайте, почему, по вашему мнению, один с большей вероятностью будет подлинным, чем другой.

Оказывается, вы можете быстро определить ответ, исходя из следующего факта: вероятность выпадения 4 решек подряд составляет 83%, а вероятность выпадения 4 решек подряд - примерно такая же, примерно в последовательности из 50 подбрасываний монет. В то время как большинство людей, которые пытаются «смоделировать» случайность, пытаются распределить орла и решку как можно более равномерно, оказывается, что чем больше вы сделаете подбрасываний, тем больше вероятность получить длинную серию из множества орлов или решек подряд. (Итак, решение таково: последовательность A, скорее всего, будет соответствовать честному, а последовательность B - лжецу.)

Не верите мне? Вы можете попробовать это сами, используя эту симуляцию подбрасывания монеты. Запишите свои результаты. В какой момент вы нашли 5 орлов подряд? Или 5 решек подряд?

Теория, которая фиксирует такого рода неинтуитивные факты о неопределенных исходах, называется теорией вероятностей. Сегодня мы собираемся поговорить о том, что такое теория вероятностей, с целью попытаться понять, почему она так хорошо работает.

Математика мерзавца

История математики не заслуживает уважения, поскольку она тесно связана с историей кодов и оружия войны. Но математика настоящего мерзавца всегда была изучением вероятностей, которое в значительной степени было разработано для того, чтобы выигрывать в азартных играх и делать ставки на людей, умирающих. Хотя в этот вид азартных игр играли тысячи лет, в Европе они стали узаконенными с появлением казино. И это совпало с новой индустрией морского страхования жизни, возникшей в 16-17 веках.

Одна из самых известных таких историй касается французского аристократа по имени Антуан Гомбо, который любил играть в игры с броском костей. К сожалению, легенда гласит, что Гомбо был ужасен в этих играх и продолжал терять деньги, несмотря на то, что он соблюдал все местные правила относительно того, как побеждать.

Итак, Гомбо попросил двух величайших математиков того времени взглянуть на проблему, Блеза Паскаля и Пьера де Ферма. Они быстро разобрались в проблеме.

Гомбо делал ставки, исходя из предположения, что если вы бросите пару кубиков 24 раза, вы с большей вероятностью получите две шестерки при одном из бросков. Это предположение было ошибочным. Паскаль и Ферма показали, как анализировать проблему.

Когда вы бросаете пару честных игральных костей, получается 36 равновероятных исходов, одна из которых - двойные шестерки.

Таким образом, вероятность того, что вы не выбросите двойные шестерки при данном броске, составляет 35/36. И по причинам, которые мы скоро увидим, шансы не выбросить двойные шестерки при 24 независимых бросках рассчитываются умножением этого значения в 24 раза:

\ [\ frac \ times \ frac \ times \ cdots (24 \ text ) \ cdots \ times \ frac = \ left (\ гидроразрыв \ вправо) ^ \ примерно 0,51. \]

Это означает, что есть 51% шанс, что вы не бросите двойные шестерки за 24 раунда, что объясняет, почему Гомбо терял деньги - он невольно настроил игру так, чтобы шансы были против него!

Независимо от того, выполняли ли вы ранее вычисления, связанные с подобными вероятностями, вы можете видеть, что существует множество похожих обстоятельств, в которых вероятности имеют решающее значение для повседневной жизни, от азартных игр до страховки и вашей вероятности сесть на автобус утром.

Вероятность стала одной из наших самых надежных рамок для решения вопросов неопределенности. Его невероятная эффективность может быть особенно заметна, когда на кону много денег. Но он также имеет решающее значение в философии науки, например, в исследовании подтверждения, научного объяснения и причинно-следственной связи. Итак, стоит потратить немного времени, чтобы напомнить себе, что такое теория вероятностей.

Однако наша задача сейчас будет заключаться в том, чтобы понять нечто более фундаментальное: что именно описывает вероятность? В конце концов, это всего лишь математическая теория, которая хорошо работает для многих известных явлений, связанных с играми в кости и карточными играми. Но какие свойства имеют все вероятностные явления? Это вопрос интерпретации вероятности, и это будет наша главная забота сегодня.

Обзор теории вероятностей

Теория вероятностей очень похожа на евклидову геометрию в том смысле, что она определяется как аксиоматическая математическая структура, которая оказывается невероятно точной при описании реального мира. Давайте сначала рассмотрим основные аксиомы вероятности, а затем рассмотрим некоторые из наиболее важных следствий.

Вся теория вероятностей исходит всего из трех аксиом, впервые сформулированных таким образом русским математиком Андреем Колмогоровым в 1933 году.

1. Функции от событий до [0,1]. Вероятности - это, во-первых, присвоение числа («вероятности») соответствующему событию или состоянию мира. Люди иногда говорят о вероятностях по шкале от 0 до 100. С этого момента мы примем соглашение, согласно которому вероятности принимают значения от 0 до 1. Итак, если \ (x \) - это событие, подобное «катанию двойных шестерок», вероятность - это функция, которая присваивает ему число \ (n \ ) в интервале [0,1]:

Например, вероятность того, что выпадет честная монета, равна \ (\ Pr (Head) = 1/2 \). А в игре в покер, если каждому игроку раздают по 5 карт, каждая рука, содержащая хотя бы одну пару, оказывается с вероятностью, равной:

Практическое следствие состоит в том, что есть довольно хорошие шансы получить пару в любой руке. Поэтому, если вы находитесь в большой группе, вы можете ожидать, что хотя бы у одного из ваших оппонентов будет пара.

2. Что-то должно случиться.Даже в ситуациях неопределенности должен произойти по крайней мере один из возможных результатов. Например, обычный кубик всегда будет бросать 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Эта вторая аксиома часто выражается как условие, что если \ (S \) - это набор всех возможных результатов, то,

3. Исключительные дизъюнкции доп.Если два события не могут произойти одновременно, например, выпадение 1 и 2 на обычном кубике, то вероятность их разъединения (то есть события 1 или события 2) является просто суммой их индивидуальных вероятностей. То есть, если \ (Pr (x \ text y) = 0 \) (т.е. два события не могут произойти одновременно), тогда,

И мы предполагаем, что то же самое верно для любого количества повторяющихся дизъюнкций. Так, например, мы можем спросить, какова вероятность выпадения 1 или 6 на правильном кубике? Эти два результата являются взаимоисключающими, поэтому они задаются следующим образом:

Таким образом, математическая теория вероятности определяется тремя аксиомами:

  1. \ (Pr (x) = n \) находится в интервале [0,1]
  2. \ (Pr (S) = 1 \) для пространства всех возможностей \ (S \)
  3. \ (Pr (x \ text y) = Pr (x) + Pr (y) \) для всех взаимоисключающих возможностей.

Вот и все! Вся теория вероятности следует только из этих трех идей. Конечно, чтобы увидеть это, нужно немного потрудиться. Давайте просто рассмотрим несколько важных частей.

Некоторые интересные последствия

Закон больших чисел

Закон вероятностей больших чисел отражает факты о большом количестве испытаний.

Например, решающим фактом при использовании пары игральных костей является то, что они в сумме дают 7 чаще, чем любое другое число. Из приведенной ниже таблицы легко понять, почему: просто комбинаций с суммой 7 больше, чем с любым другим числом! Согласно теории вероятностей, сумма чисел на игральных костях с вероятностью \ (Pr (7) = 1/6 \) будет равна 7.

Таким образом, следствием закона больших чисел является то, что если бы вы усреднили свои броски по очень большому количеству бросков, оно приблизилось бы к 7. Другими словами, средняя сумма пары игральных костей стремится к 7 после большого количества попыток.

Закон больших чисел - это то, что позволяет казино зарабатывать деньги. Казино игры обычно настроены таким образом, что казино может проиграть в любом конкретном испытании, но в пределе большого количества испытаний казино будет зарабатывать деньги.

Условная вероятность и проблема Монти Холла

Один из наиболее распространенных способов использования вероятности - это определение вероятности при наличии некоторых свидетельств. Это описывается с использованием так называемой условной вероятности. Чтобы написать «Вероятность \ (A \) при заданном \ (B \)», мы будем писать \ (\ Pr (A | B) \). Официальное определение условной вероятности:

Это всего лишь определение, но оно дает очень хорошее определение интуитивного значения условной вероятности.

Например, мы знаем из диаграммы выше, что вероятность выпадения двойных шестерок на данном ходу составляет всего 1/36. Но предположим, что мы получаем больше информации, например, бросая один из кубиков первым и получая 6. Какова тогда вероятность выпадения двойных шестерок? Назовите каждый кубик \ (B \) и \ (A \) соответственно. Используя приведенное выше определение, мы находим, что оно задается следующим образом:

Этот результат имеет смысл. В конце концов, мы уже знаем, что когда нужно бросить только один кубик, вероятность выпадения любого заданного числа равна 1/6. Однако изменение с 1/36 на 1/6 отражает обычное явление в теории вероятностей: введение новой информации часто может изменить вероятности по сравнению с теми, которые были до того, как эта информация была введена.

Возможно, самый известный и печально известный пример этого связан с проблемой вероятности, известной как проблема Монти Холла. Он назван в честь ведущего Монти Холла шоу «Давайте заключим сделку». Вот как это было.

Проблема Монти Холла в теории вероятностей ставит следующую простую постановку. Предположим, вам предлагается выбор из трех закрытых дверей. Вы знаете, что за одним из них - машина (что очень желательно), а за двумя другими - коза.

Вы делаете выбор. Но, прежде чем раскрыть ваш выбор, Монти обнаруживает козу за одной из двух других дверей (и это важно - на этом этапе Монти гарантированно обнаружит козу). Затем он предлагает вам выбор: останетесь ли вы со своим первоначальным выбором или переключитесь на другую дверь?

Большинство людей думают, что это не имеет значения. Поскольку есть две двери, они предполагают, что автомобиль с одинаковой вероятностью окажется за любой из них. Однако, когда вы сделаете вероятностный расчет, вы обнаружите, что, наоборот, лучшим решением является переключение дверей, что дает вам 2/3 вероятности выиграть машину, в отличие от 1/3 вероятности выигрыша, если вы останетесь.

Этот удивительный результат представляет собой простой факт вероятности, который вы можете просто вычислить. (Попробуйте!) Вы также можете убедить себя, просто повторив несколько попыток, например, используя эту игру с задачами Монти Холла. Игра была выпущена в New York Times как часть статьи, в которой рассказывается, как даже ученых может сбить с толку неинтуитивный характер теории вероятностей.

Вероятностная независимость и заблуждение игрока

Последняя особенность теории вероятностей, о которой стоит упомянуть, - это концепция независимости. Некоторые вероятностные события независимы в том смысле, что они не имеют ничего общего друг с другом. Мы можем записать это в терминах условных вероятностей как свойство, которое

Другими словами, A и B независимы, если вероятность A при заданном B не говорит вам ничего нового - это точно так же, как вероятность A. Это свойство называется вероятностной независимостью или иногда «стохастической независимостью». Используя приведенное выше определение условной вероятности, легко показать, что оно эквивалентно утверждению,

Это правило использовалось Паскалем и Ферма для решения проблемы Гомбо. Они признали, что отдельные броски костей не зависят друг от друга. Таким образом, если вероятность не бросить двойные шестерки равна 35/36, вероятность не бросить двойные шестерки при двух разных бросках равна произведению:

И вероятность не бросить двойные шестерки где-либо за 24 броска равна 24 раз больше.

Феномен независимости - еще один неинтуитивный факт вероятности. Например, это выражается в следующем вопросе: если я переворачиваю орел 99 раз подряд честной монетой, какова вероятность того, что я брошу орел в сотый раз? У большинства людей есть сильная интуиция, что это очень малая вероятность. Это заблуждение. Правильный ответ - вероятность 1/2, как и при любом другом подбрасывании монеты. Результат 99 предыдущих подбрасываний никак не влияет на результат следующего подбрасывания монеты.

Предположение об обратном известно как заблуждение игрока. Это то, что заставляет игроков говорить себе, что после долгой полосы проигрышей они, скорее всего, скоро выиграют. Это просто неправильно. Если игровые события независимы, то полоса неудач никак не повлияет на их будущее. В лучшем случае это предполагает (путем индукции), что игрок плохо играет в азартные игры и может продолжать проигрывать в будущем!

Интерпретации вероятности

Что в таких системах, как монеты, карты и страховые выплаты, делает вероятность применимой к ним? Что делает явление вероятностным? Это вопрос о том, как интерпретировать вероятность. Было предложено несколько подходов. Вот несколько основных.

Классическая интерпретация

Классическая интерпретация вероятности была четко сформулирована Пьером-Симоном Лапласом, одним из отцов теории вероятностей, в 1814 году.

Короче говоря, лозунг состоит в том, что вероятностные явления определяются наборами равновозможных событий. Например, подбрасывая справедливую монету, Лаплас говорит, что исход орла и решки - события одного и того же типа, которые в равной степени возможны. По этой причине они ведут себя согласно законам теории вероятностей.

Трудность с этой интерпретацией (которую вы, возможно, захотите исправить!) Состоит в том, что значения терминов в этом слогане не определены четко. Что именно означает быть «одним и тем же»? Или «одинаково возможно»?

Последнее вызывает беспокойство в связи с тем, что при обычном мышлении возможность не зависит от степени. То есть что-то либо возможно, либо нет; нет смысла говорить, что одно «более возможно» или «равно возможно» по сравнению с другим. Таким образом, классическая интерпретация, похоже, не отражает каких-либо обычных представлений о возможности.

С другой стороны, если «возможность» означает просто «вероятность», тогда возникает вопрос, поскольку вся цель интерпретации состоит в том, чтобы определить, что это означает, что что-то является вероятным.

Один из возможных способов справиться с этим - допустить, что возможности имеют неравные веса, которые представляют примитивные факты о мире. Тогда теорию вероятностей можно интерпретировать как логику, описывающую взаимодействие взвешенных возможностей. Это известно как логическая интерпретация вероятности, часто рассматриваемая как пример (или небольшая модификация) классической интерпретации.

Субъективная интерпретация

Классическая интерпретация вероятности придавала ей метафизическое значение, соответствующее определенным типам фактов о мире. Альтернативой является рассмотрение вероятности для описания эпистемического состояния, соответствующего определенным видам обоснованного убеждения, которое может иметь агент.

Эти интерпретации начинаются с того, что вероятности представляют степень уверенности, которую должен иметь рациональный агент относительно ситуации. Например, при броске обычной пары кубиков рациональный агент должен присвоить степень уверенности (или «достоверности») 1/36, что выпадет двойная шестерка. И, когда на первом кубике выпадает шестерка, это убеждение должно быть обновлено с использованием условной вероятности до достоверности 1/6, что выпадет двойная шестерка.

Когда вера агента связана с исходом азартной игры, в которой ставятся деньги, существует множество аргументов, которые показывают, что вы потеряете деньги, если ваши убеждения не соответствуют законам вероятности. Это дает аргумент (известный как аргумент из голландской книги) о том, что степень веры рационального агента будет вероятностной, поскольку ни один рациональный агент не выберет проигрышную стратегию при игре.

Существуют различные проблемы с трактовкой вероятностей как степени веры. Одна из самых больших - это проблема невежества. Предположим, вы не знаете, справедлива ли монета: она может быть смещена в сторону орла или решка, и вы абсолютно ничего не знаете о том или ином. Тогда нет числа от 0 до 1, которое вы могли бы присвоить своей степени уверенности в том, что результатом будет решка.

Попробуй. Вы можете попробовать присвоить вероятность 1/2 орлам. Но это то же самое, что вы сделали бы, если бы знали, что вероятность выпадения орла равна 1/2, что не соответствует вашему текущему состоянию убеждений. И никакие другие числа от 0 до 1 не кажутся лучше. Итак, степень веры, которую мог иметь агент, по-видимому, допускает невежество в отличие от вероятности.

Другая проблема заключается в том, что многие вероятности, похоже, не имеют ничего общего с нашей верой. Например, в квантовой механике есть объективные вероятности, которые присваиваются определенным частицам, например, вращается ли она по или против часовой стрелки. Рациональный агент может верить во что угодно о таких частицах. Но результат вращения по часовой стрелке все еще имеет независимую объективную вероятность возникновения, которая, похоже, не определяется степенью уверенности агента.

Частотная интерпретация

Хорошо известным свойством вероятности является то, что она тесно связана с тем, как часто в мире происходят определенные события. Этим пользуются частотные интерпретации. Типичное выражение частотной интерпретации таково:

Частотная интерпретация . Вероятность X по отношению к эталонному классу Y - это относительная частота фактического появления X в Y.

Так, например, вероятность выпадения орла в 100 попытках - это фактическое количество выпадений орла в этих 100 попытках. Обратите внимание, что одно различие между частотной интерпретацией и классической интерпретацией заключается в том, что первая требует фактических событий, а вторая требует только возможных событий.

Технические трудности с частотной интерпретацией возникают из-за того, что не удовлетворяются аксиомы 2-3 аксиом вероятности. В лучшем случае относительные частоты только приблизительно соответствуют тому, что описано в теории вероятностей.

Эти трудности проявляются по-разному. Например, возьмите монету, которая во всех отношениях идентична обычной монете, но прикреплена к бомбе, которая разрушает ее после одного подбрасывания. Предположим, вы перевернули его, и он упал головой, прежде чем его унесло в небытие. Какова была вероятность того, что он упадет орлом?

Согласно частотной интерпретации, это была бы вероятность 1. Эталонный класс состоит только из события, и это событие всплыло в голове. Но это кажется не интуитивно понятным, поскольку с равной вероятностью монета могла выпасть решкой.

Еще одна нетехническая проблема заключается в том, что частотная интерпретация требует указания эталонного класса. Но как это выбрать? Это кажется произвольным или, по крайней мере, не содержится в самой формулировке интерпретации.

Интерпретация склонности

Последний класс интерпретаций, который мы обсудим, - это интерпретации склонности. Идея состоит в том, чтобы думать о вероятности как о «привычке» или «тенденции» к тому, чтобы что-то произошло, что часто является примитивным и не может быть далее проанализировано. Карл Поппер, известный сторонник интерпретации предрасположенности, сформулировал это следующим образом в своей « Логике открытий» 1954 года .

С этой точки зрения взрывающаяся монета в предыдущем примере все еще имела склонность (и, следовательно, вероятность) выпадать орлом, хотя мы не могли фактически измерить эту склонность.

Многие детали теории склонностей зависят от того, что такое склонности. В некоторых случаях тенденцию можно объяснить психологически; в других случаях - по физической теории; или любым другим способом. Не зная, в чем именно заключается концепция склонности, трудно понять, будет ли она отслеживать вероятности. И, конечно же, мы не можем просто использовать это слово как синоним «вероятности», поскольку это снова поставило бы вопрос о том, что такое вероятности.

Еще одна хорошо известная трудность состоит в том, что склонности часто считаются асимметричными во времени, а вероятности - нет. Например, доза цианида может убить вас, и эту склонность можно представить как вероятность.

Тем не менее, ваша смерть не имеет склонности к употреблению цианида, хотя мы можем сказать, что умерший ранее с некоторой вероятностью употреблял цианид.